(1+3^n)^1/n的极限n趋于无穷

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 21:37:45
我也这样做了
但是 怎么感觉不对啊
因为换了之后是e^(1/n)]^[In(1+3^n)]

上面是0＊无穷啊？？？
郁闷

如若仅仅要证实答案的话你可以这么考虑，n趋于无穷时1+3^n趋于无穷，也就是比3^n大一点，可以忽略不计，那么(1+3^n)^1/n趋于(3^n)^1/n=3，它的极限是3

等于3啊

(1+3^n)^1/n
=exp{[In(1+3^n)]^(1/n)}
=exp[1/n * In(1+3^n)]

=[e^(1/n)]^[In(1+3^n)]

当n--->无穷时 ，e^(1/n)--->1

所以(1+3^n)^1/n的极限=1

令x=(1+3^n)^(1/n)
则lnx=[ln(1+3^n)]/n
用罗必达法则
lnx(n→∞)
=[ln(1+3^n)]/n(n→∞)
=[ln(1+3^n)]'/(n)'(n→∞)
=3^n*ln3/(1+3^n)(n→∞)
=ln3-ln3/(3^n+1)(n→∞)
=ln3
于是(1+3^n)^(1/n)(n→∞)=3